ビジネスで「メリークリスマス」は相応しくないのですか?

国内でのやり取りには一般的に問題ありません。
しかし、海外に発送する場合は下記の注意が必要です。

メリークリスマスというメッセージは、クリスマスを楽しんでください!という意味で、イエス・キリストの降誕(誕生)を祝う祭であるクリスマスに関しての言葉ですので、キリスト教のメッセージです。
キリスト教や無宗教の方には「Merry Christmas」で問題無いのですが、
世界にはキリスト教以外にも様々な宗教があり、信仰も人それぞれです。

他の宗教の方に送ることは避けた方が良いので、海外に送る場合はお勧めできません。

一般的には「Season’s greetings」や「Happy Holidays」といった表現が使用されています。

ビジネスの場合はマナーが重要となりますので、どの宗教を信仰しておられる方にも支障のない表現がおすすめです。